モンティ・ホール問題

忘年会でよくある景品ビンゴゲーム。給料の一部を積み立てた予算で景品を用意して、忘年会のイベントのひとつとしてビンゴ大会や抽選会を行いますよね。うちの会社では20個くらいの景品の中から欲しいものを選んで投票して、景品ごとに抽選を行うやり方をしています。

ルール概要を説明します。簡単にするために10個の景品があるとします。ひとりが10票与えられていて、欲しい景品に投票することができます。1つの景品に10票入れるもよし、3つの景品にそれぞれ3,3,4票のように分散して投票するものありです。

ここでちょっと考えてほしいのですが、「1つの景品に10票入れるのと、10個の景品に1票づつ入れるのと、どちらが当たる確率が高いと思いますか?」

そんなの確率論的に「同じじゃん」と思いますか?もちろん実際の確率は、抽選会の参加人数や人気景品にも左右されると思います。僕は毎年最上位の景品である液晶テレビ(40インチ程度)に10票を投じてきたのですが、5年以上まったくかすりもしませんでした。そこで今年はちょっと作戦を変えて、1票づつ10景品に投票しました。

さて、その結果はというと。。。結局当たりませんでした(ーー;)。


ここで登場するのが、「モンティ・ホール問題」。先日会社の先輩に聞いて初めて知ったのですが、有名な確率論の問題だそうです。家に帰ってウィキペで調べてみました。

「プレイヤーの前に3つのドアがあって、1つのドアの後ろには景品の新車が、2つのドアの後ろにはヤギ(はずれを意味する)がいる。プレイヤーは新車のドアを当てると新車がもらえる。プレイヤーが1つのドアを選択した後、モンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。ここでプレイヤーは最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更しても良いと言われる。プレイヤーはドアを変更すべきだろうか?」
モンティ・ホール問題


上の問題、直感的には変更しなくても、変更しても確率は同じように思いませんか?しかし、論理的には変更したほうが当たる確率が2倍になるのです。その理由はウィキペをじっくり読んでほしいのですが、この問題のキモは「直感で正しいと思える解答と、論理的に正しい解答が異なる問題」が世の中にはある、ということです。答えを聞いても納得しない人も少なくないのでパラドックスとも言われています。

著名なプロマジシャンの手品などではよく騙されて理由が分からないことが多々ありますが、こういう数学的な問題でも直感と論理が相反するものがあるのですね。

で、何がいいたいかと言うと、景品を当てるには10票をどう投票すればいいのか。運に任せるのとは別次元で、確率をいかに上げるか、教えてほしいのです。